板につく

「板」とは舞台のことです。
俳優が経験を積み、舞台（板）の上でしっかりと芸を演じている様子や、
舞台や作品にきちんと調和している様を指す言葉として生まれました。

そこから転じて現在では、
経験を積んで態度や仕事ぶりなどがしっかりしている様子を指す
一般的な言葉として使われている他、
服装などが似合っている様にも用いられるようになっていますね。

ちなみに、幕が上がった時点で俳優が舞台にいることを表す
「板付き」は、意味が違うのでご注意を。